Question

15．如图，正方形ABCD的边长为4，点P为正方形内部（含边上）的任意一点，且BP=2，分别连接PC、PD，则PD+$\frac{1}{2}$PC的最小值为5．

Answer 1

分析 如图，在BC边上取一点E，使得BE=1，连接DE．首先证明△PBE∽△CBE，推出$\frac{PE}{PC}$=$\frac{PB}{BC}$=$\frac{1}{2}$，推出PE=$\frac{1}{2}$PC，推出PD+$\frac{1}{2}$PC=PD+PE，由PE+PD≥DE，求出DE即可解决问题．

解答 解：如图，在BC边上取一点E，使得BE=1，连接DE．

∵PB=2，BC=4，BE=1，
∴$\frac{PB}{BC}$=$\frac{BE}{PB}$=$\frac{1}{2}$，∵∠PBE=∠CBE，
∴△PBE∽△CBE，
∴$\frac{PE}{PC}$=$\frac{PB}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴PE=$\frac{1}{2}$PC，
∴PD+$\frac{1}{2}$PC=PD+PE，
∵PE+PD≥DE，
在Rt△DEC中，∵∠DCE=90°，CD=4，EC=3，
∴DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=5，
∴PE+PD的最小值为5，
∴PD+$\frac{1}{2}$PC的最小值为5，
故答案为5．

点评 本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．