Question

7．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，F是CD的中点，过点C作AB的平行线交BF的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：EC=DA；
（2）若AC⊥CB，试判断四边形AECD的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得出∠FEC=∠DBF，∠ECF=∠BDF，F是CD的中点，得出FD=CF，再利用AAS证明△FEC与△DBF全等，进一步证明即可；
（2）利用直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的$\frac{1}{2}$，得出CD=DA，进一步得出结论即可．

解答 （1）证明：∵EC∥AB，
∴∠FEC=∠DBF，∠ECF=∠BDF，
∵F是CD的中点，
∴FD=CF，
在△FEC与△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FEC=∠DBF}\\{∠ECF=∠BDF}\\{FD=CF}\end{array}\right.$
∴△FEC≌△DBF，
∴EC=BD，
又∵CD是AB边上的中线，
∴BD=AD，
∴EC=AD．
（2）四边形AECD是菱形．
证明：∵EC=AD，EC∥AD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC⊥CB，CD是AB边上的中线，
∴CD=AD=BD，
∴四边形AECD是菱形．

点评 此题考查三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定以及菱形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．