Question

14．已知某商品每件的成本为20元，第x天（x≤90）的售价和销量分别为y元/件和（180-2x）件，设第x天该商品的销售利润为w元，请根据所给图象解决下列问题：
（1）求出w与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天当天的销售利润不低于4200元？

Answer 1

分析 （1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；
（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；
（3）根据二次函数值大于或等于4200，一次函数值大于或等于4200，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．

解答 解：（1）当1≤x≤50时，设y与x的函数关系式为y=kx+b，
∵当x=1时，y=31，当x=50，y=80，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=31}\\{50k+b=80}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=30}\end{array}\right.$
∴y=x+30，
∴当1≤x≤50时，w=（x+30-20）（180-2x）=-2x²+160x+1800；
当50＜x≤90时，w=（80-20）（180-2x）=-120x+10800；

（2）w=-2x²+180x+1800=-2（x-40）²+5000，
∴当x=40时取得最大值5000元；
∵w=-120x+10800；
∴当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x=50时，y_最大=4800，
综上所述，该商品第40天时，当天销售利润最大，最大利润是5000元；

（3）当1≤x＜50时，y=-2x²+160x+1800≥4200，解得20≤x≤60，
因此利润不低于4200元的天数是20≤x＜50，共30天；
当50≤x≤90时，y=-120x+10800≥4200，解得x≤55，
因此利润不低于4200元的天数是50≤x≤55，共6天，
所以该商品在销售过程中，共36天每天销售利润不低于4200元．

点评 本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值．