Question

11．如图，等边三角形ABC的边长为4，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点．若∠APD=60°，则CD的长为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． 1

Answer 1

分析 根据等边三角形性质求出AB=BC=AC=4，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC，证△BAP∽△CPD，得出$\frac{AB}{CP}$=$\frac{BP}{CD}$，代入求出即可．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=4，∠B=∠C=60°，
∴∠BAP+∠APB=180°-60°=120°，
∵∠APD=60°，
∴∠APB+∠DPC=180°-60°=120°，
∴∠BAP=∠DPC，
即∠B=∠C，∠BAP=∠DPC，
∴△BAP∽△CPD，
∴$\frac{AB}{CP}$=$\frac{BP}{CD}$，
∵AB=BC=4，CP=BC-BP=4-1=3，BP=1，
即$\frac{4}{4-1}$=$\frac{1}{CD}$，
解得：CD=$\frac{3}{4}$，
故选C．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△BAP∽△CPD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．