Question

5．连续整数之间有许多神奇的关系，
如：3²+4²=5²，这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方，称这样的正整数组为“奇幻数组”，进而推广：设三个连续整数为a，b，c（a＜b＜c）
若a²+b²=c²，则称这样的正整数组为“奇幻数组”；
若a²+b²＜c²，则称这样的正整数组为“魔幻数组”；
若a²+b²＞c²，则称这样的正整数组为“梦幻数组”．
（1）若有一组正整数组为“魔幻数组”，写出所有的“魔幻数组”；
（2）现有几组“科幻数组”具有下面的特征：
若有3个连续整数：$\frac{{3}^{2}+{4}^{2}+{5}^{2}}{25}$=2；
若有5个连续整数：$\frac{1{0}^{2}+1{1}^{2}+1{2}^{2}+1{3}^{2}+1{4}^{2}}{365}$=2；
若有7个连续整数：$\frac{2{1}^{2}+2{2}^{2}+2{3}^{2}+2{4}^{2}+2{5}^{2}+2{6}^{2}+2{7}^{2}}{2030}$=2；
…
由此获得启发，若存在n（7＜n＜11）个连续正整数也满足上述规律，求这n个数．

Answer 1

分析 （1）根据“魔幻数组”的定义，找出所有的“魔幻数组”即可得出结论；
（2）根据规律找出n=9，设出这9个数，再根据“科幻数组”的特征找出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）1，2，3及2，3，4．
（2）由已知可得：
3²+4²=5²，10²+11²+12²=13²+14²，21²+22²+23²+24²=25²+26²+27²，…
故可知n=9，可设这9个数为m-4，m-3，m-2，m-1，m，m+1，m+2，m+3，m+4，则有：
（m-4）²+（m-3）²+（m-2）²+（m-1）²+m²=（m+1）²+（m+2）²+（m+3）²+（m+4）²，
整理得：m²-40m=0，由题意m不为0，故m=40，
∴这9个数为36，37，38，39，40，41，42，43，44．

点评 本题考查了新定义的应用，根据新定义的意义找出方程是解题的关键．