Question

如图，已知AB=AC，∠BAC=60°，∠BDC=120°，求证：AD=BD+CD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：先延长DB，使BE=CD，连接AE，BC，根据已知条件得出A，B，D，C四点共圆，得出∠ACB=∠ADE，再根据等边三角形的性质得出△ABC是等边三角形，在△ABE和△ACD中，根据SAS得出△ABE≌△ACD，得出△ADE是等边三角形，得出AD=DE，再根据DE=BD+BE，即可证出AD=BD+CD．

解答：解：延长DB，使BE=CD，连接AE，BC，
∵∠BAC+∠ACD+∠BDC+∠ABD=360°，∠BAC=60°，∠BDC=120°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
∴A，B，D，C四点共圆，
∴∠ACB=∠ADE，
∵∠ABD+∠ABE=180°，
∴∠ABE=∠ACD，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ADE=60°，
在△ABE和△ACD中，

AB=AC ∠ABE=∠ACD BE=CD

，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AE=AD，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=DE，
∵DE=BD+BE，
∴AD=BD+CD．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，关键是根据题意作出辅助线．