Question

2．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，EF⊥BC，FM⊥AC，垂足分别是D，F，M，求证：FM=FD．

Answer 1

分析 作EH⊥AD于H，得到四边形FDFE是矩形，得到DF=HE，证明△HAE≌△MEF，根据全等三角形的性质定理证明即可．

解答 证明：作EH⊥AD于H，
则四边形FDFE是矩形，
∴DF=HE，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，∠BAC=90°，
∴EA=EF，
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，
∴∠HAE=∠MEF，
在△HAE和△MEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HAE=∠MEF}\\{∠AHE=∠EMF}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△HAE≌△MEF，
∴EH=MF，
∴FM=FD．

点评 本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角平分线的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．