Question

20．如图，在⊙O中，A，B为⊙O上两点，MA⊥MB，D为MB上一点，直线AD交⊙O于C点，过C作⊙O的切线交直线MB于P点．
（1）求证：PC=PD；
（2）若D为MB延长线上一点，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACO，由MA⊥MB，得到∠M=90°，于是得到∠A+∠ADM=90°，根据对顶角相等得到∠ADM=∠PDC，等量代换得到∠A+∠PDC=90°，根据切线的性质得到∠OCD+∠PCD=90°，于是得到结论；
（2）如图2，连接OC，方法同（1）．

解答 解：（1）如图1，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵MA⊥MB，
∴∠M=90°，
∴∠A+∠ADM=90°，
∵∠ADM=∠PDC，
∴∠A+∠PDC=90°，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP=90°，
∴∠OCD+∠PCD=90°，
∴∠PCD=∠PDC，
∴PC=PD；

（2）如图2，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵MA⊥MB，
∴∠M=90°，
∴∠A+∠ADM=90°，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°，
∴∠OCA+∠ACE=90°，
∵∠ACE=∠PCD，
∴∠PCD+∠ACO=90°，
∴∠PCD=∠PDC，
∴PC=PD．

点评 本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．