题目内容
10．如图1，在矩形ABCD中，BC=2AB，AB边在y轴的正半轴上，OA=3，动点P在AD边上（P不与A，B重合），过点P作PF⊥AC于点F，过点P，F的直线l交BC边于点E，设四边形PECD的面积为S，AP=m，当直线l经过点B时（此时点E与点B重合），它的解析式为y=2x+1．（1）如图2，当直线l经过点B时，直接写出m的值；
（2）求S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；
（3）如图3，设直线l线段AD与y轴所围成的面积为S0，当m为何值时，四边形AECP是菱形？并求此时$\frac{{S}_{0}}{S}$的值．
分析 （1）首先根据当直线l经过点B时，它的解析式为y=2x+1，求出OB、AB的值各是多少；然后根据相似三角形判定的方法，判断出△ACB∽△∠PBA，即可判断出$\frac{AP}{BA}=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$，据此求出AP的值是多少，即可判断出m的值是多少．
（2）首先求出当直线l不经过点B时，它的解析式为多少；然后求出点E的坐标，进而求出BE、CE的长度各是多少；最后根据梯形的面积的求法，求出S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围即可．
（3）首先根据设四边形AECP是菱形时，直线l与y轴交与点G，根据四边形AECP是菱形，可得AP=CE，据此求出m的值是多少；然后求出直线l的解析式，以及点G的坐标各是多少；最后分别求出S0，S的值各是多少，即可求出$\frac{{S}_{0}}{S}$的值是多少．
解答 解：（1）如图1，
，
∵当直线l经过点B时，它的解析式为y=2x+1，
∴点B的坐标是（0，1），OB=1，
又∵OA=3，
∴AB=OA-OB=3-1=2，BC=2AB=2×2=4，
∵PF⊥AC，
∴∠ACB+∠CBF=90°，
又∵∠ABP+∠CBF=90°，
∴∠ACB=∠ABP，
在△ACB和△PBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠ABP}\\{∠CBA=∠BPA=90°}\end{array}\right.$，
∴△ACB∽△PBA，
∴$\frac{AP}{BA}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AP=1，
即m=1．
（2）如图2，
，
由（1），可得
AB=2，BC=4，
∵当直线l经过点B时（此时点E与点B重合），它的解析式为y=2x+1，
∴设当直线l不经过点B时，它的解析式为y=2x+b，
∵点P的坐标是（m，3），
∴3=2m+b，
解得b=3-2m，
∴y=2x+3-2m，
令y=1，可得1=2x+3-2m，
解得x=m-1，
∴点E的坐标是（m-1，1），
∴BE=m-1，CE=4-（m-1）=5-m，
∴S=（PD+CE）×CD÷2
=[（4-m）+（5-m）]×2÷2
=9-2m
∵当直线l经过点B时，m=1，AD=BC=4，
∴1≤m≤4，
∴S=9-2m（1≤m≤4）．
（3）如图3，
，
设四边形AECP是菱形时，直线l与y轴交与点G，
∵四边形AECP是菱形，
∴AP=CE，
∴m=5-m，
解得m=2.5，
∴当m=2.5时，四边形AECP是菱形，
此时直线l的解析式是：
y=2x+3-2m=2x+3-2×2.5=2x-2，
∵直线l与y轴交与点G，
∴点G的坐标是（0，-2），
∴AG=3+2=5，
∴S0=5×2.5÷2=6.25，S=9-2m=9-2×2.5=4，
∴$\frac{{S}_{0}}{S}$=$\frac{6.25}{4}=\frac{25}{16}$
综上，可得当m=2.5时，四边形AECP是菱形，此时$\frac{{S}_{0}}{S}$的值是$\frac{25}{16}$．
点评 （1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）此题还考查了矩形的性质和应用，以及三角形、梯形的面积的求法，要熟练掌握．
快捷英语周周练系列答案
一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了如图所示的四块，聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板，你认为可行的方案是（ ）| A． | 带其中的任意两块去都可以 | B． | 带①、②或②、③去就可以了 | ||
| C． | 带①、④或③、④去就可以了 | D． | 带①、④或①、③去就可以了 |
如图，直线a∥b∥c，直角∠BAC的顶点A在直线b上，两边分别于直线a、c相交于点B、C，则∠1+∠2的度数是（ ）| A． | 180° | B． | 210° | C． | 270° | D． | 360° |
如图所示，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠B=65°，则∠ADE=（ ）| A． | 20° | B． | 25° | C． | 30° | D． | 35° |