Question

13．如图（1），△ABC、△AED全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，△EAD固定不动，将△BAC绕着点A逆时针旋转（旋转角α满足 0°＜α＜180°），连结EC和BD，相交于点F；
（1）猜想线段EC、BD的关系并证明你的结论；
（2）如图（2）连结BE，直接写出∠EBD的大小为：45°；
（3）如图（3）连结AF，求证：AF平分∠BFE．

Answer 1

分析 （1）BD与EC交于点G，如图（1）由△ABC、△AED全等的等腰直角三角形，得到AB=AC=AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，则根据旋转的定义可把△BAD绕点A顺时针旋90°得到△CAE，然后根据旋转的性质得EC=BD，∠1=∠2，再根据三角形内角和定理可得∠CFG=∠BAG=90°，于是可判断EC⊥BD；
（2）如图（2），由（1）得∠1=∠2，由AE=AC得∠2=∠3，则∠1=∠3，加上∠ABE=∠AEB，则∠FBE=∠FEB，于是可判断△BEF为等腰直角三角形，所以∠EBF=45°；
（3）过点A作AM⊥BD于M，AN⊥CE，如图（3），由（1）得△BAD绕点A顺时针旋90°得到△CAE，根据旋转的性质得△ABD≌△ACE，再根据全等三角形的性质得AM=AN，然后利用角平分线定理的逆定理判断AF平分∠BFE．

解答 （1）解：EC=BD，EC⊥BD．理由如下：
BD与EC交于点G，如图（1）

∵△ABC、△AED全等的等腰直角三角形，
∴AB=AC=AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，
∴△BAD绕点A顺时针旋90°得到△CAE，
∴EC=BD，∠1=∠2，
∵∠BGA=∠CGD，
∴∠CFG=∠BAG=90°，
∴EC⊥BD；
（2）解：如图（2），

由（1）得∠1=∠2，
∵AE=AC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠FBE=∠FEB，
由（1）得∠CFB=90°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴∠EBF=45°；
故答案为45°；
（3）证明：过点A作AM⊥BD于M，AN⊥CE，如图（3），

由（1）得△BAD绕点A顺时针旋90°得到△CAE，
∴△ABD≌△ACE，
∴AM=AN，
∴AF平分∠BFE．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决（3）的关键是灵活应用角平分线定理的逆定理．