Question

20．已知点M（0，1），点N是抛物线y=x²-1上的一动点，设MN²=d，则d的最小值为$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 求出抛物线与x轴的交点坐标，由勾股定理求出MB=$\sqrt{2}$；设N（x，x²-1），作NA⊥y轴于A，则OA=x²-1，AN=x，∴MA=OM-OA=2-x²，由勾股定理和二次函数的最值得出d的最小值=$\frac{7}{4}$＜2，得出当N是抛物线与x轴的交点时，d有最小值为$\frac{7}{4}$即可．

解答 解：抛物线y=x²-1，
当y=0时，x=±1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为：B（1，0），C（-1，0），
∵M（0，1），
∴OM=1，
∴MB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$；
设N（x，x²-1），
作NA⊥y轴于A，如图所示：
则OA=x²-1，AN=x，
∴MA=OM-OA=2-x²，
由勾股定理得：d=MN²=MA²+AN²=（2-x²）²+x²=x⁴-3x²+4=（x²-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
当x²=$\frac{3}{2}$时，d的最小值=$\frac{7}{4}$＜2，
∵点N是抛物线y=x²-1上的一动点，
∴当N是抛物线与x轴的交点时，d有最小值为$\frac{7}{4}$；
故答案为：$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、勾股定理等知识；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决问题的关键．