题目内容

（1）如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；
（2）如图2，在（1）的条件下，AB的下方两点E，F满足∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数；
（3）如图3，在前面的条件下，若P是BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP-∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．

（1）答：AB∥CD．
证明：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD；

（2）解：设∠ABF=x，则∠EBF=2x，
∴∠ABE=∠ABF+∠EBF=x+2x=3x，
根据三角形的内角和定理可得，∠E+∠EBF=∠F+∠ECF，
根据三角形的外角性质，∠1=∠E+∠ABE=∠E+3x，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠DCE，
∵CF平分∠DCE，

∴∠ECF= $\text{[math]}$ ∠DCE= $\text{[math]}$ ∠1= $\text{[math]}$ （∠E+3x），
∴∠E+2x=∠F+ $\text{[math]}$ （∠E+3x），
整理得，2∠F-∠E=x①，
∵∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，
∴2∠F+180°-∠E=190°②，
①代入②得，x+180°=190°，
∴x=10°，
∴∠ABE=3x=30°；

（3）解：如图，根据三角形的外角性质，∠1=∠BPG+∠B，
∵PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP，
∴∠GPQ= $\text{[math]}$ ∠BPG，∠MGP= $\text{[math]}$ ∠DGP，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠DGP，
∴∠MGP= $\text{[math]}$ （∠BPG+∠B），
∵PQ∥GN，
∴∠NGP=∠GPQ= $\text{[math]}$ ∠BPG，
∴∠MGN=∠MGP-∠NGP= $\text{[math]}$ （∠BPG+∠B）- $\text{[math]}$ ∠BPG= $\text{[math]}$ ∠B，
根据前面的条件，∠B=30°，
∴∠MGN= $\text{[math]}$ ×30°=15°，
∴①∠DGP-∠MGN的值随∠DGP的变化而变化；②∠MGN的度数为15°不变．
分析：（1）根据内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）设∠ABF=x，则∠ABE=3x，根据三角形内角和定理整理得到∠E+∠EBF=∠F+∠ECF，再根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义表示出∠ECF= $\text{[math]}$ ∠1，然后整理得到∠E、∠F的关系式，再根据∠F与∠E的补角的关系列出等式，然后整理即可求出x，从而得解；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1=∠BPG+∠B，再根据平行线的性质以及角平分线的定义表示出∠MGP、∠DPQ，根据两直线平行，内错角相等可得∠NGP=∠GPQ，然后列式表示出∠MGN= $\text{[math]}$ ∠B，从而判定②正确．
点评：本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，综合性较强，难度较大，仔细分析图形，理清各角度之间的关系是解题的关键，也是本题的难点．