Question

如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的四边形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的三棱柱纸盒，使它的侧面积等于底面积．
（1）求做成的纸盒的高；
（2）截去部分的面积占原三角形纸板面积的百分之几？

Answer 1

考点：展开图折叠成几何体

专题：

分析：（1）设盒子高为xcm，则筝形的长边为

3

xcm，盒子的底边长为（6-2

3

x）cm，底面积：

3

4

（6-2

3

x）²cm²，侧面积：3x（6-2

3

x）cm²，根据侧面积等于底面积，列出方程即可求解；
（2）分当x=1时；当x=

3

时；两种情况讨论可求截去部分的面积占原三角形纸板面积的百分之几．

解答：解：（1）设盒子高为xcm，则筝形的长边为

3

xcm，盒子的底边长为（6-2

3

x）cm，底面积：

3

4

（6-2

3

x）²cm²，侧面积：3x（6-2

3

x）cm²，
则

3

4

（6-2

3

x）²=3x（6-2

3

x），
解得x₁=1，x₂=

3

（不合题意，舍去）；

（2）当x=1时，侧面积=3×1×（6-2

3

）=18-6

3

cm²，原等边三角形面积：

3

4

×6²=9

3

cm²，
剪去面积：9

3

-（18-6

3

）=（15

3

-18）cm²，截去部分的面积占原三角形纸板面积的（15

3

-18）÷（9

3

）≈51.2%．
当x=

3

时，侧面积S=3

3

（6-2×

3

×

3

）=0（不合题意，舍去）．
故截去部分的面积占原三角形纸板面积的51.2%．

点评：考查了展开图折叠成几何体，解题的关键是设盒子高为xcm，表示出筝形的长边为

3

xcm，盒子的底边长为（6-2

3

x）cm，底面积：

3

4

（6-2

3

x）²cm²，侧面积：3x（6-2

3

x）cm²．