Question

如图，矩形ABDC中，AB、AC长分别为6和10，点E在边CD上，将△ACE沿线段AE翻折，得到△AEF，点C落在BD边上，AF、AE分别交对角线BC于点G、H，则GH的长为

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,矩形的性质

专题：

分析：先由折叠的性质得出△ACE≌△AFE，则AC=AF=10，CE=FE，∠ACE=∠AFE=90°．在Rt△ABF中，利用勾股定理求出BF=

AF2-AB2

=8，则FD=2．再设CE=x，在Rt△DEF中，利用勾股定理列出方程x²=（6-x）²+2²，解方程求出x=

10

3

，即CE=

10

3

．再在Rt△ACB中，利用勾股定理求出BC=2

34

，然后由△ABH∽△ECH，根据相似三角形对应边成比例求出BH=

9

7

34

，同理由△BFG∽△CAG，求出BG=

8

9

34

，那么根据GH=BH-BG即可求出GH的长．

解答：解：∵将△ACE沿线段AE翻折，得到△AEF，
∴△ACE≌△AFE，
∴AC=AF=10，CE=FE，∠ACE=∠AFE=90°．
在Rt△ABF中，∵∠ABF=90°，
∴BF=

AF2-AB2

=

102-62

=8，
∴FD=BD-BF=10-8=2．
设CE=x，则FE=x，DE=6-x，
在Rt△DEF中，∵∠D=90°，
∴EF²=DE²+DF²，即x²=（6-x）²+2²，
解得x=

10

3

，
∴CE=

10

3

．
在Rt△ACB中，∵∠BAC=90°，
∴BC²=AC²+AB²=100+36=136，
∴BC=2

34

．
∵AB∥CE，
∴△ABH∽△ECH，
∴

BH

CH

=

AB

EC

，即

BH

2 34 -BH

=

6

10 3

，
解得BH=

9

7

34

．
∵BF∥AC，
∴△BFG∽△CAG，
∴

BG

CG

=

BF

CA

，即

BG

2 34 -BG

=

8

10

，
解得BG=

8

9

34

，
∴GH=BH-BG=

9

7

34

-

8

9

34

=

25

63

34

．
故答案为

25

63

34

．

点评：本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．