Question

11．如图，已知A（n，-2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）由点B的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出m的值，从而得出反比例函数关系式；由点A在反比例函数图象上利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出n的值，再由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的关系式；
（2）令一次函数解析式中x=0，求出y值从而得出点C的坐标，通过分割图形利用三角形的面积公式即可求出△AOB的面积；
（3）根据两函数图象的上下位置关系，结合两函数的交点横坐标，即可得出不等式的解集．

解答 解：（1）∵点B（1，4）在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴m=1×4=4，
∴反比例函数的关系式为y=$\frac{4}{x}$；
∵点A（n，-2）在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，
∴4=-2n，解得：n=-2，
∴点A的坐标为（-2，-2）．
∵点A（-2，-2）、点B（1，4）在一次函数y=kx+b的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2=-2k+b}\\{4=k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的关系式为y=2x+2．
（2）令y=2x+2中x=0，则y=2，
∴点C的坐标为（0，2），OC=2，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OC•（x_B-x_A）=$\frac{1}{2}$×2×[1-（-2）]=3．
（3）观察函数图象，发现：
当x＜-2或0＜x＜1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式2x+2-$\frac{4}{x}$＜0的解集为x＜-2或0＜x＜1．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）求出点A的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）分割图形求三角形面积；（3）根据函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，再结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．