Question

19．如图，正方形ABCD中，E是BC边上的一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则EB比EA的值为（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 结合题意，主要利用勾股定理在正方形中的应用，设正方形的边长为1，⊙E的半径为x，分别表示出Rt△ABE的三边，列出方程，求解即可得出⊙E的半径为，从而求出BE，根据勾股定理求出AE即可．

解答 解：设正方形ABCD的边长为1，⊙E的半径为x，即⊙A的半径为1，
结合题意，在Rt△ABE中，AB=1，AE=1+x，BE=1-x；
故有（1+x）²=（1-x）²+1；
解得：x=$\frac{1}{4}$，
即CE=$\frac{1}{4}$，BE=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，AB=1，
由勾股定理得：AE=$\frac{5}{4}$
所以$\frac{EB}{EA}$=$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}}$=$\frac{3}{5}$，
故选A．

点评 本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，相切两圆的性质等知识点的应用，能求出BE、AE的长是解此题的关键，本题难度不大，但需要掌握的知识点较多，需要同学们熟练．