Question

如图，AB是⊙O的直径，AB=6，点C是AB延长线上一点，CD是⊙O的切线，点D是切点，过点B作⊙O的切线，交CD于点E．若CD=4，则点E到⊙O的切线长ED等于（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  12

  7

• C、2
• D、2.5

Answer 1

分析：连接OD，由CD为⊙O的切线，根据切线的性质得到OD与DC垂直，即∠ODC=90°，同理EB也是⊙O的切线，得到∠EBC=90°，∠C是公共角，所以根据两对角相等的两三角形相似得到△CBE与△CDO相似，根据相似三角形的对应边成比例得到EB的关系式，然后在直角三角形ODC中，由OD和CD的长，利用勾股定理求出OC的长，由CB=OC-OB求出CB的长，把OD，CD及CB的长代入关系式中即可求出EB的长，又ED和EB都为⊙O的切线，根据切线长定理得到ED=EB，进而得到ED的长．

解答：解：连接OD，
由CD是⊙O的切线，得到OD⊥CD，即∠ODC=90°，
又BE也是⊙O的切线，得到EB⊥BA，即∠EBC=90°，
∴∠ODC=∠EBC=90°，又∠C=∠C，
∴△CBE∽△CDO，
∴

EB

OD

=

CB

CD

，
在直角三角形OCD中，CD=4，OD=

1

2

AB=3，根据勾股定理得：CO=5，
∴CB=CO-OB=5-3=2，
又ED和EB都为⊙O的切线，
则ED=EB=

OD•CB

CD

=

3×2

4

=

3

2

．
故选A．

点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．