题目内容
8．仔细观察下列三组数．第一组：1，4，9，16，25，…
第二组：0，-3，-8，-15，-24，…
第三组：$\frac{1}{2}$，-$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{10}$，-$\frac{4}{15}$，$\frac{5}{26}$，…
（1）第一组数是按什么规律排列的？第二组数与第一组数有什么关系？
（2）按第三组数的排列规律，第9、10两个数各是多少？
（3）取每组的第20个数，计算这三个数的和．
分析 （1）第一组按12，22，32，42，…n2排列，第二组按-（12-1），-（22-1），-（32-1），-（42-1），…-（n2-1）排列，由此进一步得出答案即可；
（2）第三组数的分子是连续自然数，分母是对应分母的平方加1，奇数位置为正，第n个数为（-1）n+1$\frac{n}{{n}^{2}+1}$，偶数位置为负，第n个数为（-1）n+1$\frac{n}{{n}^{2}-1}$，由此求得答案即可；
（3）求得每组的第20个数，再相加即可．
解答 解：（1）第一组按12，22，32，42，…n2排列，
第二组按-（12-1），-（22-1），-（32-1），-（42-1），…-（n2-1）排列，
第二组是第一组的数减去1的相反数；
（2）∵第三组的第n个数为（-1）n+1$\frac{n}{{n}^{2}+1}$，
∴第9个数是$\frac{9}{82}$，第10个数是-$\frac{10}{99}$；
（3）第一组的第20个数是202=400，
第二组的第20个数是-（202-1）=-399，
第三组的第20个数是-$\frac{20}{2{0}^{2}-1}$=-$\frac{20}{399}$，
故这三个数的和为400-399-$\frac{20}{399}$=$\frac{379}{399}$．
点评 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题．
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