如图所示.在平面直角坐标系中xOy中.抛物线y=mx2-2mx-2与y轴交于点A.其对称轴与x轴交于点B(1)求点A.B的坐标,(2)若直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称.该抛物线在-2＜x＜-1这一段位于直线l的上方.并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方.求该抛物线的解析式,中抛物线上两点P.Q.若点P.Q绕某点逆时针旋转90°相应得P1.Q1(0.0)两点.求以PQ为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=mx²-2mx-2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B
（1）求点A，B的坐标；
（2）若直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，该抛物线在-2＜x＜-1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式；
（3）（2）中抛物线上两点P、Q，若点P、Q绕某点逆时针旋转90°相应得P₁（-6，-1）、Q₁（0，0）两点，求以PQ为对角线的正方形的另两个顶点坐标．

考点：二次函数综合题,待定系数法求一次函数解析式,全等三角形的判定与性质

专题：压轴题

分析：（1）令x=0求出y的值，即可得到点A的坐标，求出对称轴方程，即可得到点B的坐标；
（2）求出点A关于对称轴的对称点（2，-2），然后设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式，再根据二次函数的对称性判断在2＜x＜3这一段与在-1＜x＜0这一段关于对称轴对称，从而判断出抛物线与直线l的交点的横坐标为-1，代入直线l求出交点坐标，然后将交点坐标代入抛物线的解析式求出m的值，就可得到抛物线解析式；
（3）通过验证可知旋转点为点S（-1，-1），并可求出点P、Q的坐标，过正方形PMQN的顶点P、Q分别作x轴的平行线，过顶点M、N分别作y轴的平行线，构成正方形EFGH，如图2，易证△PHM≌△MGQ，则有PH=MG，HM=GQ．设GQ=x，则MH=x，MG=PH=x+1，根据GH=4-（-2）=6可求出x，就可得到点M的坐标，同理可求出点N的坐标．

解答：解：（1）当x=0时，y=-2，所以A（0，-2），
抛物线的对称轴为直线x=-

-2m

=1，所以B（1，0）；

（2）设点A（0，-2）关于对称轴（直线x=1）的对称点为点A′，
所以点A′的坐标为（2，-2）．
设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵直线l经过A′（2，-2）、B（1，0），
则

2k+b=-2

k+b=0

，
解得：

k=-2

b=2

，
∴直线l的解析式为y=-2x+2；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线在2＜x＜3这一段与在-1＜x＜0这一段关于对称轴对称，
如图1，

结合图象可以观察到：
抛物线在-2＜x＜-1这一段位于直线l的上方，
在-1＜x＜0这一段位于直线l的下方，
故抛物线与直线l的交点的横坐标为-1，
当x=-1时，y=-2×（-1）+2=4，
∴抛物线过点（-1，4），
当x=-1时，m+2m-2=4，
解得：m=2，
∴抛物线的解析式为y=2x²-4x-2；

（3）当旋转点落在点S（-1，-1）时，
将P₁（-6，-1）、Q₁（0，0）绕点S顺时针旋转90°，
所对应的点分别为P（-1，4）、Q（0，-2）．
当x=-1时，y=2×（-1）²-4×（-1）-2=4；
当x=0时，y=-2；
所以点P、点Q都在抛物线y=2x²-4x-2上．
过正方形PMQN的顶点P、Q分别作x轴的平行线，
过顶点M、N分别作y轴的平行线，构成正方形EFGH，如图2，

则有MP=QM，∠G=∠H=∠PMQ=90°，
∴∠HPM=90°-∠HMP=∠GMQ．
在△PHM和△MGQ中，

∠HPM=∠GMQ

∠H=∠G

MP=QM

，
∴△PHM≌△MGQ（AAS），
∴PH=MG，HM=GQ．
设GQ=x，则MH=x，MG=PH=x+1，
∴GH=GM+MH=x+1+x=4-（-2）=6，
解得：x=2.5，
∴点M的坐标为（2.5，4-2.5）即（2.5，1.5）．
同理可得：点N的坐标为（-3.5，0.5）．
以PQ为对角线的正方形的另两个顶点坐标分别为（2.5，1.5），（-3.5，0.5）．

点评：本题考查了二次函数的性质、用待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质等知识，有一定的难度，利用二次函数的对称性得到抛物线经过点（-1，4）是解决第（2）小题的关键，找到旋转点并构造全等三角形是解决第（3）小题的关键．