Question

如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和（0，3）．动点P从A点开始沿折线AO﹣OB﹣BA运动，点P在AO，OB，BA上运动，速度分别为1，，2（长度单位/秒）．一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以（长度单位/秒）的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO﹣OB﹣BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．请解答下列问题：
（1）过A，B两点的直线解析式是_________；
（2）当t﹦4时，点P的坐标为_________；当t﹦_________，点P与点E重合；
（3）①作点P关于直线EF的对称点P'．在运动过程中，若形成的四边形PEP'F为菱形，则t的值是多少？
②当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）y=﹣x+3；
（2）（0，），t=；
（3）①当点P在线段AO上时，过F作FG⊥x轴，G为垂足（如图1）

∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°
∴△EOP≌△FGP，
∴OP=PG
又∵OE=FG=t，∠A=60°，
∴AG==t
而AP=t，
∴OP=3﹣t，PG=AP﹣AG=t
由3﹣t=t 得t=；
当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；
当点P在线段BA上时， 过P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分别为垂足（如图2）

∵OE=t，
∴BE=3﹣t，
∴EF==3﹣
∴MP=EH=EF=，
又∵BP=2（t﹣6）
在Rt△BMP中，
BPcos60°=MP
即2（t﹣6）=，
解得t=．
②存在﹒理由如下：
∵t=2，∴OE=，AP=2，OP=1
将△BEP绕点E顺时针方向旋转90°，得到△B'EC（如图3）
∵OB⊥EF，∴点B'在直线EF上，
∵C点横坐标绝对值等于EO长度，C点纵坐标绝对值等于EO﹣PO长度
∴C点坐标为（﹣，﹣1）
过F作FQ∥B'C，交EC于点Q，
则△FEQ∽△B'EC
由===，
可得Q的坐标为（﹣，），
Q关于直线EF的对称点Q'（﹣，）也符合条件．