题目内容

如图矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点．

(1)

求证：△ADE≌△BCF；

(2)

若AD=4cm，AB=8cm，求CF的长．

答案：
解析：

(1)

如图答所示，证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AD∥BC，∴OA=OB=OC，∠DAE=∠OCB．∴∠OCB=∠OBC，∴∠DAE=∠CBF．又∵，，∴AE=BF，∴△ADE≌△BCF．

(2)

解：过点F作FG⊥CD于点G，则∠DGF=90°∵∠DCB=90°，∴∠DGF=∠DCB，又∵∠FDG=∠BDC，∴△DFG∽△DBC，∴．由(1)可知DF=2FB，得．∴，∴FG=3，DG=6，∴GC=DC－DG=8－6=2．∴在Rt△FGC中，．

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14、如图矩形ABCD中BC=8，AB=4，将矩形纸片沿对角线对折，使C点落在F处，BC与AD边交于点E，则下列四个结论中：
①BE=DE，②∠ABE=30°，③AE=3，④S_△DEF：S_△BED=3：5．
正确的是

如图，已知矩形ABCD．
（1）在图中作出△CDB沿对角线BD所在直线对折后的△C′DB，C点的对应点为C′（用尺规作图，保留作图痕迹，简要写明作法，不要求证明）；
（2）设C′B与AD的交点为E．
①若DC=3cm，BC=6cm，求△BED的面积；
②若△BED的面积是矩形ABCD的面积的

某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD（AB＜BC）的对角线交点O旋转（如图①→②→③），图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．

（1）该学习小组中一名成员意外地发现：在图①（三角板的一直角边与OD重合）中，BN²=CD²+CN²；在图③（三角板的一直角边与OC重合）中，CN²=BN²+CD²．请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由．
（2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理由．

如图矩形ABCD中BC=8，AB=4，将矩形纸片沿对角线对折，使C点落在F处，BC与AD边交于点E，则下列四个结论中：
①BE=DE，②∠ABE=30°，③AE=3，④S_△DEF：S_△BED=3：5．
正确的是________．

（2009•潘集区模拟）如图矩形ABCD中BC=8，AB=4，将矩形纸片沿对角线对折，使C点落在F处，BC与AD边交于点E，则下列四个结论中：
①BE=DE，②∠ABE=30°，③AE=3，④S_△DEF：S_△BED=3：5．
正确的是．