Question

6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=AD
（1）作∠A的平分线交CD于E；（只保留作图痕迹，不写作法）
（2）过点B作CD的垂线，垂足为F；（只保留作图痕迹，不写作法）
（3）请直接写出图中两对全等三角形（不添加任何字母），并证明其中的一对．△ACE≌△ADE，△CAE≌△BCF．

Answer 1

分析 （1）以A为圆心，以任意长为半径画弧交AB、AC于M、N，再分别以M、N为圆心，以大于$\frac{1}{2}$MN为半径画弧，两弧交于P，作射线AP交CD于E，则AE就是∠BAC的平分线，
（2）在异于B的另一侧取一点O，以B为圆心，以BO为半径画弧，交直线CD于G、H，分别以G、H为圆心，以大于$\frac{1}{2}$GH为半径画弧交于Q，作射线BQ，交直线CD于F；
（3）根据SAS证明△ACE≌△ADE．

解答 解：（1）如图，AE即为所求；


（2）如图，BF即为所求；

 （3）①△ACE≌△ADE，②△CAE≌△BCF，
证明①：∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE=∠CAE，
在△ACE和△ADE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=AD}\\{∠CAE=∠DAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ADE（SAS）．
故答案为：△ACE、△ADE、△CAE、△BCF．

点评 本题考查了三角形全等的性质和判定、尺规作图、等腰直角三角形的性质，熟练掌握几何中的基本作图，本题有：①作角平分线，②作垂线．