Question

1．如图，梯形OABC中，CB∥OA，O为坐标原点，B（2，4），C（0，4），tan∠BAO=2，动点Q 从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段OA运动，到点A停止，过点Q作OP⊥x轴交折线C-B-A于点P，以PQ为一边向左作正方形PQRS，设运动时间为t （秒），正方形PQRS与梯形OABC重叠的面积为S（平方单位）．
（1）求点A的坐标．
（2）求S与t的函数关系式．
（3）求（2）中的S的最大值．

Answer 1

分析 （1）过B作BH垂直于OA，在直角三角形ABH中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠BAO，进而确定出OA的长，得到A的坐标即可；
（2）令t=2（4-t），求出t的值，根据t的范围分三种情况考虑：当0≤t≤2时；当2＜t≤$\frac{8}{3}$时；当$\frac{8}{3}$＜t≤4时，分别找出S与t的函数解析式即可；
（3）根据（2）的解析式，利用一次函数与二次函数的性质求出S的最大值即可．

解答 解：（1）过点B作BH⊥OA于点H，
∵tan∠BAO=2，B（2，4），即BH=4，OH=2，
∴∠BAO=$\frac{BH}{AH}$=$\frac{4}{OA-OH}$=$\frac{4}{OA-2}$=2，
∴OA=4，
∴A（4，0）；
（2）令t=2（4-t），解得：t=$\frac{8}{3}$；
当0≤t≤2时，S=4t；
当2＜t≤$\frac{8}{3}$时，S=t（8-2t）=-2t²+8t；
当$\frac{8}{3}$＜t≤4时，S=（8-2t）²=4t²-32t+64；
（3）当0≤t≤2时，当t=2时，S有最大值8；
当2＜t≤$\frac{8}{3}$时，当t=2时，S有最大值8，∴S＜8
当$\frac{8}{3}$＜t≤4时，当t=$\frac{8}{3}$时，S有最大值$\frac{64}{9}$，∴S＜$\frac{64}{9}$＜8，
综上，S的最大值为8．

点评 此题属于四边形综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，锐角三角函数定义，一次函数与二次函数的性质，利用了分类讨论的思想，分类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面．