题目内容
已知：如图，抛物线C1：y=ax2+4ax+c的图象开口向上，与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为P，AB=2，且OA=OC．（1）求抛物线C1的对称轴和函数解析式；
（2）把抛物线C1的图象先向右平移3个单位，再向下平移m个单位得到抛物线C2，记顶点为M，并与y轴交于点F（0，-1），求抛物线C2的函数解析式；
（3）在（2）的基础上，点G是y轴上一点，当△APF与△FMG相似时，求点G的坐标．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）根据配方法，可得抛物线的对称轴，根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得A、B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据配方法，可得顶点式函数解析式，根据函数图象右移减，向下平移y减，可得y=（x+2-3）2-1+m，根据自变量的值，可得相应的函数值；
（3）分类讨论：①当△APF∽△MFG，②当△APF∽△GFM，根据相似三角形的性质，可得FG的长，再根据点点F的坐标，可得答案．
（2）根据配方法，可得顶点式函数解析式，根据函数图象右移减，向下平移y减，可得y=（x+2-3）2-1+m，根据自变量的值，可得相应的函数值；
（3）分类讨论：①当△APF∽△MFG，②当△APF∽△GFM，根据相似三角形的性质，可得FG的长，再根据点点F的坐标，可得答案．
解答：解：（1）将抛物线C1：y=ax2+4ax+c配方，得y=a（x+2）2-4a+c，
∴抛物线的对称轴是x=-2，
又AB=2，点A、点B关于x=-2对称，得
．解得
．
点A（-3，0），点B（-1，0）．
由OA=OC，得点C（0，3），
将A、C点的坐标代入C1得，
．
解得
．
抛物线函数解析式y=x2+4x+3；
（2）又（1）抛物线C1：y=x2+4x+3配方，得y=（x+2）2-1，
抛物线C1的图象先向右平移3个单位，再向下平移m个单位得到抛物线C2，得
y=（x+2-3）2-1+m．C2与y轴交于点F（0，-1），得
1-1+m=-1．即m=-1．
C2与的解析式为y=（x-1）2-2，
（3）如图：
由勾股定理，得AP=
，MF=
．由两点间的距离，得PF=2．
①当△APF∽△MFG时，
=
，即
=
．
解得FG=2，点G1的坐标为（0，1）；
②当△APF∽△GFM，
=
，即
=
，
FG=1，点G2的坐标（0，0）．
∴抛物线的对称轴是x=-2，
又AB=2，点A、点B关于x=-2对称，得
|
|
点A（-3，0），点B（-1，0）．
由OA=OC，得点C（0，3），
将A、C点的坐标代入C1得，
|
解得
|
抛物线函数解析式y=x2+4x+3；
（2）又（1）抛物线C1：y=x2+4x+3配方，得y=（x+2）2-1，
抛物线C1的图象先向右平移3个单位，再向下平移m个单位得到抛物线C2，得
y=（x+2-3）2-1+m．C2与y轴交于点F（0，-1），得
1-1+m=-1．即m=-1．
C2与的解析式为y=（x-1）2-2，
（3）如图：
由勾股定理，得AP=
| 2 |
| 2 |
①当△APF∽△MFG时，
| AP |
| MF |
| PF |
| FG |
| ||
|
| 2 |
| FG |
解得FG=2，点G1的坐标为（0，1）；
②当△APF∽△GFM，
| AP |
| FG |
| PF |
| MF |
| ||
| FG |
| 2 | ||
|
FG=1，点G2的坐标（0，0）．
点评：本题考查二次函数综合题，（1）函数值相等的两点关于对称轴对称，待定系数法求函数解析式；（2）先化成顶点式，再进行平移：向右平移x减，向下平移y减；（3）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键．
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| ||
B、
| ||
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| ||
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|
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