Question

10．如图，△ABC中，AB=AC，△ABD和△ACE都是等边三角形，BD和CE相交于点O，AO的延长线交BC于H，求证：H是BC的中点．

Answer 1

分析 根据全等三角形的判定与性质，可得∠AFC=∠AGB，根据外角的性质，可得∠ABC+∠FCB=∠AFC，∠ACB+∠CBG=∠AGB，根据等腰三角形的判定，可得OB与OC的关系，根据线段垂直平分线的判定，可得答案．

解答 证明：AB交EC于F，AC交BD于G，如图，
，
∠BAC为公共角，∠ABD=∠ACE=60°．
∵AB=AC，
∠ABC=∠ACB．
在△ABG和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAG=∠CAF}\\{AB=AC}\\{∠ABG=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ACF（ASA），
∴∠AFC=∠AGB．
∵∠AFC是△BFC的外角，∠AGB是△BCG的外角，
∴∠ABC+∠FCB=∠AFC，∠ACB+∠CBG=∠AGB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC．
∵AB=AC，
∴AO是BC的垂直平分线，
∴AH是BC边上的中线，
∴H是BC的中点．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定与性质得出∠AFC=∠AGB是解题关键，又利用了先端垂直平分线的判定．