Question

如图，抛物线y=ax²+bx+2与x轴交于点A（1，0）和B（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）把点A、B的坐标代入函数解析式，解方程组求出a、b的值，即可得解；
（2）根据抛物线解析式求出对称轴，再根据平行四边形的对角线互相平分求出点C的横坐标，然后代入函数解析式计算求出纵坐标，即可得解；
（3）设AC、EF的交点为D，根据点C的坐标写出点D的坐标，然后分①点O是直角顶点时，求出△OED和△PEO相似，根据相似三角形对应边成比例求出PE，然后写出点P的坐标即可；②点C是直角顶点时，同理求出PF，再求出PE，然后写出点P的坐标即可；③点P是直角顶点时，利用勾股定理列式求出OC，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PD=

1

2

OC，再分点P在OC的上方与下方两种情况写出点P的坐标即可．

解答：解：（1）把点A（1，0）和B（4，0）代入y=ax²+bx+2得，

a+b+2=0 16a+4b+2=0

，
解得

a= 1 2 b=- 5 2

，
所以，抛物线的解析式为y=

1

2

x²-

5

2

x+2；

（2）抛物线的对称轴为直线x=

5

2

，
∵四边形OECF是平行四边形，
∴点C的横坐标是

5

2

×2=5，
∵点C在抛物线上，
∴y=

1

2

×5²-

5

2

×5+2=2，
∴点C的坐标为（5，2）；

（3）设OC与EF的交点为D，
∵点C的坐标为（5，2），
∴点D的坐标为（

5

2

，1），
①点O是直角顶点时，易得△OED∽△PEO，
∴

OE

DE

=

PE

OE

，
即

5 2

1

=

PE

5 2

，
解得PE=

25

4

，
所以，点P的坐标为（

5

2

，-

25

4

）；
②点C是直角顶点时，同理求出PF=

25

4

，
所以，PE=

25

4

+2=

33

4

，
所以，点P的坐标为（

5

2

，

33

4

）；
③点P是直角顶点时，由勾股定理得，OC=

52+22

=

29

，
∵PD是OC边上的中线，
∴PD=

1

2

OC=

29

2

，
若点P在OC上方，则PE=PD+DE=

29

2

+1，
此时，点P的坐标为（

5

2

，

2+ 29

2

），
若点P在OC的下方，则PE=PD-DE=

29

2

-1，
此时，点P的坐标为（

5

2

，

2- 29

2

），
综上所述，抛物线的对称轴上存在点P（

5

2

，-

25

4

）或（

5

2

，

33

4

）或（

5

2

，

2+ 29

2

）或（

5

2

，

2- 29

2

），使△OCP是直角三角形．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的对角线互相平分的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，难点在于（3）根据直角三角形的直角顶点分情况讨论．