Question

8．如图，在△ABC中，∠A=90°，BC的垂直平分线交BC于E，交AC于D，且AD=DE
（1）求证：∠ABD=∠C；
（2）求∠C的度数．

Answer 1

分析 （1）依据线段垂直平分线的性质可知DB=DC，故此可得到∠C=∠DBC，然后利用角平分线的性质定理的逆定理可得到BD平分∠ABC，故此可证得∠ABD=∠C；
（2）依据∠C+∠ABC=90°求解即可．

解答 证明：（1）∵DE⊥BC，∠A=90°即DA⊥AB且AD=DE，
∴BD平分∠ABC．
∴∠ABD=∠DBC．
∵DE垂直平分BC，
∴BD=CD．
∴∠DBC=∠C．
∴∠ABD=∠C．
解：（2）∵∠ABC+∠C=90°，∠ABD=∠CBD=∠C，
∴3∠C=90°．
∴∠C=30°．

点评 本题主要考查的是线段垂直平分线和角平分线的性质，熟练掌握相关定理是解题的关键．