Question

5．如图，等腰三角形AOB的一边BC经过⊙O上的一点C，AO=BO，CA=CB，OA与⊙O交于点D，OB与⊙O交于点H，连接CD、CH．
（1）求证：AB与⊙O相切．
（2）若∠AOB=∠DCH，试判断四边形ODCH的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的三线合一可得OC⊥AB，则根据切线的判定定理可判断AB与⊙O相切；
（2）先根据等腰三角形的性质得OC平分∠AOB，即∠DOC=∠HOC，再证明△OCD≌△OCH，得到∠OCD=∠OCH，由于∠AOB=∠DCH，则∠DOC=∠OCD，所以DO=DC，则OD=OC=CD，同理可得CH=OH，所以OD=DC=CH=OH，由此可判断四边形ODCH为菱形．

解答 （1）证明：∵AO=BO，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∴AB与⊙O相切；
（2）解：四边形ODCH为菱形．理由如下：
∵AO=BO，CA=CB，
∴OC平分∠AOB，即∠DOC=∠HOC，
在△OCD和△OCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OH}\\{∠DOC=∠HOC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△OCH，
∴∠OCD=∠OCH，
∵∠AOB=∠DCH，
∴∠DOC=∠OCD，
∴DO=DC，
∵OD=OC，
∴OD=OC=CD，
同理可得CH=OH，
∴OD=DC=CH=OH，
∴四边形ODCH为菱形．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等腰三角形的判定与性质和菱形的判定．