Question

4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AB=13，AC=12，OD⊥AC，垂足为D，则OD的长为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 先根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得到∠ACB=90°，再利用勾股定理计算出BC=5，由于OD⊥AC，根据垂径定理得到AD=CD，则可判断OD为△ABC的中位线，于是根据三角形中位线定理易得OD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$．

解答 解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∵AB=13，AC=12，
∴BC=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5，
∵OD⊥AC，
∴AD=CD，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$．
故答案为$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理和三角形中位线定理．