Question

6．已知关于x的方程（m-1）x²-x-2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
（2）若x₁，x₂是该方程的两个根，且x₁²x₂+x₁x₂²=-$\frac{1}{8}$，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=（-1）²-4（m-1）×（-2）＞0，然后解不等式即可；
（2）由根与系数的关系得到x₁+x₂=$\frac{1}{m-1}$，x₁x₂=$\frac{-2}{m-1}$，再变形x₁²x₂+x₁x₂²=-$\frac{1}{8}$得到x₁x₂（x₁+x₂）=-$\frac{1}{8}$，所以-$\frac{2}{m-1}$•$\frac{1}{m-1}$=-$\frac{1}{8}$，然后解关于m的方程即可得到满足条件的m的值．

解答 解：（1）根据题意得△=（-1）²-4（m-1）×（-2）＞0，解得m＞$\frac{7}{8}$
（2）由根与系数的关系得到x₁+x₂=$\frac{1}{m-1}$，x₁x₂=$\frac{-2}{m-1}$，
∵x₁²x₂+x₁x₂²=-$\frac{1}{8}$，
∴x₁x₂（x₁+x₂）=-$\frac{1}{8}$
∴-$\frac{2}{m-1}$•$\frac{1}{m-1}$=-$\frac{1}{8}$，
整理得（m-1）²-16=0，解得m₁=5，m₂=-3，
而m＞$\frac{7}{8}$
∴m=5．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．注意判别式的意义．