Question

6．如图，在平面直角坐标系中，已知A（6，6）、B（12，0）．
（1）求AB的长；
（2）如图2，M（3，0），N为OB上一点，且∠AMN=∠OAN，求∠MAN的度数及AN的长；
（3）如图3，点P为y轴正半轴上一点，C（-3，0），若∠OPN=2∠CPO，在（2）的条件下，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥OB于点D，在直角△ABD中利用勾股定理即可求解；
（2）根据三角形的外角的性质即可证得∠MAN=∠AOM=45°，作∠NAE=∠NAM=45°，使点E与M在AN两侧，截取AE=AM，连接BE，NE，作AH垂直MN于H．证明△BAE≌△OAM，在直角△AHN中，利用勾股定理即可求解；
（3）连接PM，作MK垂直PN于K，根据三角形的面积公式即可证得$\frac{PN}{PO}=\frac{NM}{OM}$，设PN=t，利用t表示PN和PO，据此即可列方程求解．

解答 解：（1）作AD⊥OB于点D．
则D的坐标是（6，0），则AD=6，BD=6，
则AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$；
（2）∵∠AMN=∠AON+∠OAM，∠OAN=∠OAM+∠MAN，
又∵∠AMN=∠OAN，
∴∠MAN=∠AOM=45°，
∵点A为（6，6），点B为（12，0），
∴AO=AB，∠OAB=90°．
作∠NAE=∠NAM=45°，使点E与M在AN两侧，截取AE=AM，连接BE，NE；
作AH垂直MN于H．
∵∠MAE=∠OAB=90°．
∴∠BAE=∠OAM；
在△BAE和△OAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AM}\\{∠BAE=∠OAM}\\{AB=AO}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△OAM，
∴BE=OM=3；
NE=MN；∠ABE=∠AOM=45°，则∠NBE=90°．
设BN=x，则NE=MN=OB=OM-BN=9-x．
BN²+BE²=NE²，即x²+9=（9-x）²，
x=4，ON=8，HN=ON-OH=8-6=2，
故AN=$\sqrt{A{H}^{2}+H{N}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
（3）连接PM．OM=OC=3，PO垂直平分CM，则PC=PM，∠MPO=∠CPO；
若∠NPO=2∠CPO，则∠NPO=2∠MPO，即∠NPM=∠MPO．
作MK垂直PN于K，则MK=MO=3．
故$\frac{{S}_{△NPM}}{{S}_{△MPO}}=\frac{PN}{PO}$（等高三角形的面积比等于底之比）；
又∵$\frac{{S}_{γ△NPM}}{{S}_{△PMO}}=\frac{NM}{OM}$（同高三角形的面积比等于底之比）．
∴$\frac{PN}{PO}=\frac{NM}{OM}$，
设PN=t，则
$\frac{\sqrt{{t}^{2}+25}}{t}=\frac{2}{3}$，
解得：t=3$\sqrt{5}$．
即点P为（0，-3$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，正确作出辅助线构造全等的三角形是解决本题的关键．