Question

如图，小红作出了边长为1的第1个正△A₁B₁C₁，算出了正△A₁B₁C₁的面积，然后分别取△A₁B₁C₁三边的中点A₂，B₂，C₂，作出了第2个正△A₂B₂C₂，算出了正△A₂B₂C₂的面积，用同样的方法，作出了第3个正△A₃B₃C₃，算出了正△A₃B₃C₃的面积…，由此可得，第2014个正△A₂₀₁₄B₂₀₁₄C₂₀₁₄的面积是（　　）

• A、

  3

  4

  ×(

  1

  2

  )2013
• B、

  3

  4

  ×(

  1

  2

  )2014
• C、

  3

  4

  ×(

  1

  4

  )2013
• D、

  3

  4

  ×(

  1

  4

  )2014

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等边三角形的性质

专题：规律型

分析：根据相似三角形的性质，先求出正△A₂B₂C₂，正△A₃B₃C₃的面积，依此类推△A_nB_nC_n的面积是

3

4n-1

，从而求出第2014个正△A₂₀₁₄B₂₀₁₄C₂₀₁₄的面积．

解答：解：正△A₁B₁C₁的面积是：

3

4

×2²=

3

=

3

40

，
∵△A₂B₂C₂与△A₁B₁C₁相似，并且相似比是1：2，
∴面积的比是1：4，
则正△A₂B₂C₂的面积是

3

×

1

4

=

3

4

=

3

41

；
∵正△A₃B₃C₃与正△A₂B₂C₂的面积的比也是1：4，
∴正△A₃B₃C₃面积是

3

4

×

1

4

=

3

16

=

3

42

；
依此类推△A_nB_nC_n与△A_n-1B_n-1C_n-1的面积的比是1：4，
第n个三角形的面积是

3

4n-1

，
则第2014个正△A₂₀₁₄B₂₀₁₄C₂₀₁₄的面积是

3

42013

=

3

4

×（

1

4

）²⁰¹³．
故选：C．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．