Question

7．如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN=90°，CM=MN．连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．
（1）①依题意补全图形；②求证：BE⊥AC．
（2）请探究线段BE，AD，CN所满足的等量关系，并证明你的结论．
（3）设AB=1，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为$\frac{3}{4}$（直接写出答案）．

Answer 1

分析 （1）①依照题意补全图形即可；②连接CE，由正方形以及等腰直角三角形的性质可得出∠ACD=∠MCN=45°，从而得出∠ACN=90°，再根据直角三角形的性质以及点E为AN的中点即可得出AE=CE，由此即可得出B、E在线段AC的垂直平分线上，由此即可证得BE⊥AC；
（2）BE=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$AD+$\frac{1}{2}$CN．根据正方形的性质可得出BF=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$AD，再结合三角形的中位线性质可得出EF=$\frac{1}{2}$CN，由线段间的关系即可证出结论；
（3）找出EN所扫过的图形为四边形DFCN．根据正方形以及等腰直角三角形的性质可得出BD∥CN，由此得出四边形DFCN为梯形，再由AB=1，可算出线段CF、DF、CN的长度，利用梯形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）①依题意补全图形，如图1所示．

②证明：连接CE，如图2所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，AB=BC，
∴∠ACB=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠BCD=45°，
∵∠CMN=90°，CM=MN，
∴∠MCN=45°，
∴∠ACN=∠ACD+∠MCN=90°．
∵在Rt△ACN中，点E是AN中点，
∴AE=CE=$\frac{1}{2}$AN．
∵AE=CE，AB=CB，
∴点B，E在AC的垂直平分线上，
∴BE垂直平分AC，
∴BE⊥AC．
（2）BE=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$AD+$\frac{1}{2}$CN．
证明：∵AB=BC，∠ABE=∠CBE，
∴AF=FC．
∵点E是AN中点，
∴AE=EN，
∴FE是△ACN的中位线．
∴FE=$\frac{1}{2}$CN．
∵BE⊥AC，
∴∠BFC=90°，
∴∠FBC+∠FCB=90°．
∵∠FCB=45°，
∴∠FBC=45°，
∴∠FCB=∠FBC，
∴BF=CF．
在Rt△BCF中，BF²+CF²=BC²，
∴BF=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$BC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AD，
∴BF=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$AD．
∵BE=BF+FE，
∴BE=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$AD+$\frac{1}{2}$CN．
（3）在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．
∵∠BDC=45°，∠DCN=45°，
∴BD∥CN，
∴四边形DFCN为梯形．
∵AB=1，
∴CF=DF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，CN=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$，
∴S_梯形DFCN=$\frac{1}{2}$（DF+CN）•CF=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\sqrt{2}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及梯形的面积公式，解题的关键是：（1）根据垂直平分线上点的性质证出垂直；（2）用AD表示出EF、BF的长度；（3）找出EN所扫过的图形．本题属于中档题，难度不小，解决该题型题目时，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是关键．