Question

8．如图，四边形ABCD为矩形纸片，对折纸片，使得AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后，再把纸片沿着BM折叠，使得点A与EF上的点N重合，在折痕BM上取一点P，使得BP=BA，连接NP并延长．交BA的延长线于点Q．若AB=6．则AQ的长为3$\sqrt{3}$-3．

Answer 1

分析 根据折叠的性质得到AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=3，BN=AB=6，据此可得∠BNE=30°，再根据BP=BA=BN，求得∠BNP=75°，∠ENQ=75°-30°=45°，再根据△QEN是等腰直角三角形，即可得到QE=NE=$\sqrt{3}$BE=3$\sqrt{3}$，进而得出AQ=QE-AE=3$\sqrt{3}$-3．

解答 解：由折叠可得，AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=3，BN=AB=6，
∴∠BNE=30°，∠ABN=60°，
∴∠MBN=$\frac{1}{2}$∠ABN=30°，
∵BP=BA=BN，
∴△BNP中，∠BNP=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，
∴∠ENQ=75°-30°=45°，
又∵EF⊥AB，
∴△QEN是等腰直角三角形，
∴QE=NE=$\sqrt{3}$BE=3$\sqrt{3}$，
∴AQ=QE-AE=3$\sqrt{3}$-3．
故答案为：3$\sqrt{3}$-3．

点评 本题主要考查了折叠问题以及等腰直角三角形的判定与性质的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．