题目内容

如图，P₁是一块半径为1的半圆形纸板，在P₁的左下端剪去一个半径为 $数学公式$ 的半圆后得到图形P₂，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P₃，P₄，…，P_n，…，记纸板P_n的面积为S_n，试通过计算S₁，S₂，猜想得到S_n-1-S_n=________（n≥2）．

（ $\text{[math]}$ ）^2n-1π．
分析：由P₁是一块半径为1的半圆形纸板，在P₁的左下端剪去一个半径为 $\text{[math]}$ 的半圆后得到图形P₂，得到S₁= $\text{[math]}$ π×1²= $\text{[math]}$ π，S₂= $\text{[math]}$ π- $\text{[math]}$ π×（ $\text{[math]}$ ）²．同理可得S_n-1= $\text{[math]}$ π- $\text{[math]}$ π×（ $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ π×[（ $\text{[math]}$ ）²]²-…- $\text{[math]}$ π×[（ $\text{[math]}$ ）^n-2]²，S_n= $\text{[math]}$ π- $\text{[math]}$ π×（ $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ π×[（ $\text{[math]}$ ）²]²-…- $\text{[math]}$ π×[（ $\text{[math]}$ ）^n-2]²- $\text{[math]}$ π×[（ $\text{[math]}$ ）^n-1]²，它们的差即可得到．
解答：根据题意得，n≥2．
S₁= $\text{[math]}$ π×1²= $\text{[math]}$ π，
S₂= $\text{[math]}$ π- $\text{[math]}$ π×（ $\text{[math]}$ ）²，
…
S_n-1= $\text{[math]}$ π- $\text{[math]}$ π×（ $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ π×[（ $\text{[math]}$ ）²]²-…- $\text{[math]}$ π×[（ $\text{[math]}$ ）^n-2]²，
S_n= $\text{[math]}$ π- $\text{[math]}$ π×（ $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ π×[（ $\text{[math]}$ ）²]²-…- $\text{[math]}$ π×[（ $\text{[math]}$ ）^n-2]²- $\text{[math]}$ π×[（ $\text{[math]}$ ）^n-1]²，
∴S_n-1-S_n= $\text{[math]}$ π×（ $\text{[math]}$ ）^2n-2=（ $\text{[math]}$ ）^2n-1π．
故答案为（ $\text{[math]}$ ）^2n-1π．
点评：本题考查了圆的面积公式：S=πR²．以及规律性题目的解题一般方法：从特殊到一般．