Question

如图，在边长为m的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AD上不同于A，D两点的一动点，F是CD上一动点，且AE+CF=m．
（1）证明：无论E，F怎样移动，△BEF总是等边三角形；
（2）求△BEF面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）连接BD，得到△ABD是等边三角形，又AE+CF=m，所以AE=DF，利用边角边可以证明△ABE、△DBF全等．
（2）边长最小面积就最小，当BE⊥AD时边长最小，利用勾股定理求出BE及△BEF的高，则其面积就不难得到了．

解答：解：（1）连接BD，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=DB，
又∵AE+CF=m，
∴AE=DF，
在△ABE和△DBF中

AB=DB ∠A=∠BDF=60° AE=DF

，
∴△ABE≌△DBF（SAS），
∴BE=BF∴∠EBF=∠ABD=60°，
∴△BEF是等边三角形．

（2）当BE⊥AD时面积最小，此时BE=

m2-( 1 2 m)2

=

3

2

m，
△BEF的EF边上的高=

( 3 2 m)2-( 3 4 m)2

=

3

4

m，
S_△BEF=

1

2

×

3

2

m×

3

4

m=

3

16

3

m²．

点评：作辅助线构造出等边三角形和全等三角形，结合菱形的性质和等边三角形的性质求解．