Question

5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在线段AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF、BF．
（1）求证：∠BDE=∠ADP；      
（2）判断△DEF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠BDE=∠CDE，根据对顶角线段、等量代换证明即可；
（2）连接PE，根据三角形的外角的性质得到∠DPE=∠OAB=45°，根据圆周角定理得到∠DFE=∠DPE=45°，根据等腰直角三角形的判定定理证明即可．

解答 （1）证明：∵点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），
∴OC=OB，
∵DO⊥BC，
∴DC=DB，又DO⊥BC，
∴∠BDE=∠CDE，又∠CDE=∠ADP
∴∠BDE=∠ADP；
（2）解：连接PE，
∵∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，∠DEP=∠ABD，
∴∠DPE=∠OAB=45°，
由圆周角定理得，∠DFE=∠DPE=45°，
∵DF是⊙Q的直径，
∴∠DEF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形．

点评 本题考查的是直线与圆的位置关系，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定定理是解题的关键．