Question

2．在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若P在线段CA的延长线上，且∠ABP=30°，则CP的长为6或4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，分4种情况进行讨论，利用直角三角形的性质解答．

解答 解：如图1：

当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；
如图2：

当∠C=60°时，∠ABC=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠CBP=60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴CP=BC=6；
如图3：

当∠ABC=60°时，∠C=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°-30°=30°，
∴PC=PB，
∵BC=6，
∴AB=3，
∴PC=PB=$\frac{3}{cos30°}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$；
但不符合P在线段CA的延长线上，
如图4：

当∠ABC=60°时，∠C=30°，
∵∠ABP=30°，
∴∠PBC=60°+30°=90°，
∴PC=BC÷cos30°=4$\sqrt{3}$．
故答案为：6或4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．