题目内容
18．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是OC上任意一点，AG⊥BE于点G，交BD于点F．解决问题：（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，判断AF与BE的数量关系，并说明理由；
拓展应用：（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°．
①试判断AF与BE的数量关系，并说明理由；
②若点E在线段AC上运动，点G也随之运动，AB=2，请写出G运动的路径长度$\frac{4}{3}$π．
分析 （1）根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据四边形ABCD是菱形和∠ABC=120°，推出AC⊥BD，∠ABO=60°，所以∠FAO+∠AFO=90°，根据AG⊥BE，得到∠EAG+∠BEA=90°，∠AFO=∠BEA，又因为∠AOF=∠BOE=90°，推出三角形相似，即可得到结论．
解答 解：（1）结论：AF=BE；
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB=∠BOC=90°，AO=BO，
∵AG⊥BE，∠AFO=∠BFG，
∴∠FAO=∠FBG，
在△AFO与△BFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠BOE}\\{∠FAO=∠FBG}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△AFO≌△BFO，
∴AF=BE；
（2）结论：$\frac{AF}{BE}$=$\sqrt{3}$．
理由：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴AC⊥BD，∠ABO=60°，
∴∠FAO+∠AFO=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠EAG+∠BEA=90°，
∴∠AFO=∠BEA，
又∵∠AOF=∠BOE=90°，
∴△AOF∽△BOE，
∴$\frac{AF}{BE}$=$\frac{AO}{OB}$，
∵∠ABO=60°，AC⊥BD，
∴$\frac{AO}{OB}$=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{AF}{BE}$=$\sqrt{3}$．
（3）如图3中，以AB为直径画⊙K交CB的延长线于M．
∵AG⊥BE，
∴∠AGB=90°，
∴点G在⊙K上，
若点E在线段AC上运动，点G的运动轨迹是优弧$\widehat{MOA}$，优弧$\widehat{MOA}$的长为=$\frac{240•π•1}{180}$=$\frac{4}{3}$π．
故答案为$\frac{4}{3}$π．
点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决解决轨迹问题．
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