Question

20．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABCD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y₁（单位：元）销售价y₂（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．
（1）求线段AB所表示的y₁与x之间的函数表达式．
（2）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）根据线段AB经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；
（2）利用总利润=单位利润×产量，列出有关x的二次函数，求得最值即可．

解答 解：（1）设线段AB所表示的y₁与x之间的函数关系式为y₁=k₁x+b₁，
因为y₁=k₁x+b₁的图象过（0，60）与（90，42），
所以$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=60}\\{90{k}_{1}+{b}_{1}=42}\end{array}\right.$，
解方程组得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-0.2}\\{{b}_{1}=60}\end{array}\right.$，
这个一次函数的表达式为y₁=-0.2x+60（0≤x≤90）；

（2）设y₂与x之间的函数表达式为y₂=k₂x+b₂，
因为y₂=k₂x+b₂的图象过（0，120）与（130，42），
所以$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{2}=120}\\{130{k}_{2}+{b}_{2}=42}\end{array}\right.$，
解方程组得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-0.6}\\{{b}_{2}=120}\end{array}\right.$，
这个一次函数的表达式为y₂=-0.6x+120（0≤x≤130），
设产量为xkg时，获得的利润为W元．
①当0≤x≤90时，W=x[（-0.6x+120）-（-0.2x+60）]=-0.4（x-75）²+2250，
∴当x=75时，W的值最大，最大值为2250；
②当90≤x≤130时，W=x[（-0.6x+120）-42]=-0.6（x-65）²+2535，
∴当x=90时，W=-0.6（90-65）²+2535=2160，
由-0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，
∴90≤x≤130时，W≤2160，
因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．