Question

如图，已知直线与双曲线交于 两点，且点A的横坐标为4．
（1）求k的值；
（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求的面积；
（3）过原点O的另一条直线交双曲线于两点（点P在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

Answer 1

（1） 8 ；
（2） S_△COA = 15 ；
（3）∵ 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形
  ∴ OP=OQ，OA=OB
  ∴ 四边形APBQ是平行四边形
  ∴ S_△POA = S_{平行四边形APBQ} = ×24 = 6
 设点P的横坐标为m（ m> 0且），得P ( m，8 )
  过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，
   ∵ 点P、A在双曲线上，
  ∴S_△POE = S_△AOF = 4 
   若0＜m＜4，如图12-3，
  ∵ S_△POE + S_梯形PEFA = S_△POA + S_△AOF
  ∴ S_梯形PEFA = S_△POA = 6
  ∴
   解得m= 2，m= - 8(舍去) ∴ P（2，4）
  若 m＞ 4，如图12-4，
  ∵ S_△AOF+ S_梯形AFEP = S_△AOP + S_△POE
   ∴ S_梯形PEFA = S_△POA = 6 
   ∴，
  解得 m= 8， m= - 2 (舍去)
  ∴ P（8，1）
  ∴ 点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）