Question

19．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；   
（2）若CE=8，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．

Answer 1

分析 （1）由D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，易证得EF=BC，EF∥BC，即可判定四边形BCFE是平行四边形，又由EF=BE，即可证得四边形BCFE是菱形；
（2）由∠BCF=120°，易证得△EBC是等边三角形，又由CE=8，即可求得菱形BCFE的高，继而求得菱形BCFE的面积．

解答 （1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE=BC，
又∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵BE=FE，
∴四边形BCFE是菱形；

（2）解：∵∠BCF=120°，
∴∠EBC=60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为8，高为$4\sqrt{3}$，
∴菱形的面积为：8×$4\sqrt{3}$=$32\sqrt{3}$．

点评 此题考查了菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．注意利用三角形的中位线证得DE∥BC且2DE=BC以及证得△EBC是等边三角形是解此题的关键．