Question

直线y=kx+b经过点P（m，2m），其中m＞0，该直线又分别与x轴、y轴正半轴交于B、C两点，且S_△OCB=4m²．抛物线y=ax²+bx+c经过点B、C两点，与x轴的负半轴交于点A．
（1）求出B、C两点的坐标（用m表示）；
（2）在△ABC中，∠ACB=90°，S_△ABC=5，求这个抛物线的解析式．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：计算题,数形结合,待定系数法

分析：（1）把点P（m，2m）代入直线y=kx+b得到mk+b=2m，由直线又分别与x轴、y轴正半轴交于B、C两点，求出B、C两点，再由S_△OCB=4m²，得出

1

2

（-

b

k

）b=4m²．由此联立方程求出k、b，进一步求得B、C两点坐标；
（2）设点A的坐标为（n，0），利用△AOC∽△COB，用m表示出A的坐标，进一步利用S_△ABC=5，求得m的数值，再把三点A、B、C代入抛物线解析式求得问题．

解答：解：（1）∵直线y=kx+b经过点P（m，2m），
∴mk+b=2m，b=2m-mk，①
∵直线y=kx+b与x轴、y轴正半轴交于B、C两点，
∴B、C两点坐标分别为（-

b

k

，0）、（0，b），
∵且S_△OCB=

1

2

×（-

b

k

）×b=-

b2

2k

=4m²．②
①代入②得，k=-2，
∴b=4m，
则B、C两点坐标分别为（2m，0）、（0，4m）；

（2）设点A的坐标为（n，0），如图，

∵∠ACB=90°，∠AOC=∠BOC=90°，
∴∠ACO=∠OBC
∴△AOC∽△BOC
∴

AO

OC

=

OC

OB

即

n

4m

=

4m

2m

，
解得n=8m
且m＞0，点A在x轴的负半轴，
∴n=-8m，
S_△ABC=

1

2

×AB•OC=

1

2

×10m×4m=5，
求得m=

1

2

，
∴A（-4，0），B（1，0），C（0，2），
代入y=ax²+bx+c得

16a-4b+c=0 a+b+c=0 c=2

，
解得

a=- 1 2 b=- 3 2 c=2

，
∴抛物线为y=-

1

2

x²-

3

2

x+2．

点评：此题属于二次函数的应用，综合考查了与x轴交点的坐标以、三角形的面积、三角形的相似的判定与性质、待定系数法求函数解析式等知识，注意结合图形解决问题．