Question

14．由于x²≥0，所以x²有最小值0，从而x²+1有最小值1．据此请求出（1）x²-2的最小值；（2）x²-4x+1的最小值；（3）-x²+3x+2有最大值还是最小值呢？请你求出这个最大或最小值来．

Answer 1

分析 （1）利用非负数的性质可判断x²-2的最小值；
（2）先配方得到x²-4x+1=（x-2）²-3，然后利用非负数的性质判断x²-4x+1的最小值；
（3）先利用配方法得到-x²+3x+2=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{17}{4}$，然后根据二次函数的最值问题可判断代数式有最大值还是最小值．

解答 解：（1）x²-2的最小值为-2；
（2）x²-4x+1=（x-2）²-3，
所以x²-4x+1的最小值为-3；
（3）-x²+3x+2=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{17}{4}$，
所以-x²+3x+2有最大值，最大值为$\frac{17}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-$\frac{b}{2a}$时，y=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-$\frac{b}{2a}$时，y=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$．