题目内容
（2013•朝阳）如图，直线AB与⊙O相切于点A，直径DC的延长线交AB于点B，AB=8，OB=10（1）求⊙O的半径．
（2）点E在⊙O上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．
（3）求弦EC的长．
分析：（1）连接OA，交EC于F，根据切线性质得出∠OAB=90°，根据勾股定理求出即可；
（2）根据AE=AC推出弧AE=弧AC，根据垂径定理求出OA⊥EC，根据平行线判定推出即可；
（3）证△OFC∽△OAB，求出FC，根据垂径定理得出EC=2FC，代入求出即可．
（2）根据AE=AC推出弧AE=弧AC，根据垂径定理求出OA⊥EC，根据平行线判定推出即可；
（3）证△OFC∽△OAB，求出FC，根据垂径定理得出EC=2FC，代入求出即可．
解答：（1）解：连接AO，交EC于F，
∵AB切⊙O于A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：OA=
=
=6，
答：⊙O的半径是6．
（2）直线EC与AB的位置关系是EC∥AB．
证明：∵AE=AC，
∴弧AE=弧AC，
∵OA过O，
∴OA⊥EC，
∵OA⊥AB，
∴EC∥AB．
（3）解：∵EC∥AB，
∴△OFC∽△OAB，
∴
=
，
∴
=
，
∴FC=
，
∵OA⊥EC，OA过O，
∴EC=2FC=
．
∵AB切⊙O于A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：OA=
| OB2-AB2 |
| 102-82 |
答：⊙O的半径是6．
（2）直线EC与AB的位置关系是EC∥AB．
证明：∵AE=AC，
∴弧AE=弧AC，
∵OA过O，
∴OA⊥EC，
∵OA⊥AB，
∴EC∥AB．
（3）解：∵EC∥AB，
∴△OFC∽△OAB，
∴
| FC |
| AB |
| OC |
| OB |
∴
| FC |
| 8 |
| 6 |
| 10 |
∴FC=
| 24 |
| 5 |
∵OA⊥EC，OA过O，
∴EC=2FC=
| 48 |
| 5 |
点评：本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，切线性质，垂径定理，圆周角定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．
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