题目内容
已知：如图1，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=120°，对角线相交于O．点P是AB边上一个动点，它从A点出发，以每秒1个长度单位的速度向B点移动，E是OD的中点，连接PE并延长，交CD于F，过点P作PQ⊥BC于Q，连接PEDP、DQ，设移动时间为t（s），DF的长为z，△DPQ的面积为S．（1）写出使△DEF∽△BEF的条件：______；
（2）求z关于t的函数关系式；
（3）求S关于t的函数关系式，并求出t为何值时，S最大？最大值是多少？
（4）以O为坐标原点，菱形ABCD的对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系（如图2），直线EQ与x轴的交点为G，当t=2（s）时，①求直线EQ的函数解析式；②求△EOG的外接圆的面积．
【答案】分析：（1）根据相似三角形的判定求出即可；
（2）求出PB、BQ，根据△DEF∽△BEP，得出比例式，代入求出即可；
（3）根据S=S△DPB+S△DBQ-P△PBQ和三角形的面积公式代入求出即可，根据二次函数的顶点式，求出最大值即可；
（4）求出E、G的坐标，用待定系数法求出直线ED即可；根据直线EG的解析式求出与x轴的交点坐标，根据勾股定理求出EG即可．
解答：（1）解：故答案为：∠DEF=∠BEP，∠FDE=∠PBE．
（2）解：由已知条件得知：PB=6-t，BQ=3-
t，
由△DEF∽△BEP，
∴
=
=
，
x=
PB=
（6-t）=-
t+2．
（3）解：S=S△DPB+S△DBQ-P△PBQ，
=
（6-t）•6sin60°+
（3-
t）•6sin60°-
（3-
t）（6-t）sin60°，
=-
t2-
t+9
．
∵t≥0，
∴当t=0时，S最大，最大值是9
．
（4）解：①OD=6sin60°=3
，
∴E的坐标是（0，
）；
当t=2秒时，BQ=2，Q的坐标是（1，-2
）；
设直线EG的解析式是y=kx+b，
把E、G的坐标代入得：
，
解得：k=-
，b=
，
∴直线EQ的函数解析式是y=-
x+
．
②把y=0代入得：x=
，
∴G的坐标是（
，0），
由勾股定理得：EG2=EO2+OG2=
，
∴△EOG的外接圆的面积为π
=
π．
点评：本题综合考查了二次函数的最值，用待定系数法求出一次函数的解析式，勾股定理，相似三角形的性质和判定，菱形的性质，三角形的外接圆等知识点的运用，此题综合性比较强，有一定的难度，综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．
（2）求出PB、BQ，根据△DEF∽△BEP，得出比例式，代入求出即可；
（3）根据S=S△DPB+S△DBQ-P△PBQ和三角形的面积公式代入求出即可，根据二次函数的顶点式，求出最大值即可；
（4）求出E、G的坐标，用待定系数法求出直线ED即可；根据直线EG的解析式求出与x轴的交点坐标，根据勾股定理求出EG即可．
解答：（1）解：故答案为：∠DEF=∠BEP，∠FDE=∠PBE．
（2）解：由已知条件得知：PB=6-t，BQ=3-
t，由△DEF∽△BEP，
∴
==，x=
PB=（6-t）=-t+2．（3）解：S=S△DPB+S△DBQ-P△PBQ，
=
（6-t）•6sin60°+（3-t）•6sin60°-（3-t）（6-t）sin60°，=-
t2-t+9．∵t≥0，
∴当t=0时，S最大，最大值是9
．（4）解：①OD=6sin60°=3
，∴E的坐标是（0，
）；当t=2秒时，BQ=2，Q的坐标是（1，-2
）；设直线EG的解析式是y=kx+b，
把E、G的坐标代入得：
，解得：k=-
，b=，∴直线EQ的函数解析式是y=-
x+．②把y=0代入得：x=
，∴G的坐标是（
，0），由勾股定理得：EG2=EO2+OG2=
，∴△EOG的外接圆的面积为π
=π．点评：本题综合考查了二次函数的最值，用待定系数法求出一次函数的解析式，勾股定理，相似三角形的性质和判定，菱形的性质，三角形的外接圆等知识点的运用，此题综合性比较强，有一定的难度，综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．
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