Question

16．如图，点H为△ABC的三条高线的交点，点D在△BCH的外接圆上，且AD⊥BD于点D，延长AD交HC于点P，交外接圆于点E．求证：点P为CH的中点．

Answer 1

分析 延长BH交AC于点M，延长AH交BC于点N，连接BE，EH，EC，根据点H是△ABC的三条高的交点可知BM⊥AC，AN⊥BC．再由AF⊥BD得出BE为△BHC外接圆的直径，故BH⊥EH，CE⊥BC．根据BH⊥AC，AH⊥BC可知AH∥CE，AC∥HE，所以四边形ACEH为平行四边形，由平行四边形的性质即可得出结论．

解答 证明：延长BH交AC于点M，延长AH交BC于点N，连接BE，EH，EC．
∵点H是△ABC的三条高的交点，
∴BM⊥AC，AN⊥BC．
∵AF⊥BD，
∴∠BDE=90°．
∴BE为△BHC外接圆的直径．
∴∠BHE=∠BCE=90°．即BH⊥EH，CE⊥BC．
又∵BH⊥AC，AH⊥BC，
∴AH∥CE，AC∥HE．
∴四边形ACEH为平行四边形．
∵点P是对角线AE与HC的交点，
∴点P为CH的中点．

点评 本题考查的是圆的综合题，涉及到圆周角定理及平行四边形的有关知识，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键．