Question

9．如图1，AB为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C的直线与AB的延长线交于点E，AD⊥CE于点D，AC平分∠DAB．．
（1）求证：CE是⊙O的切线．
（2）若AB=6，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；
（3）如图2，连接OD交AC于点G，若$\frac{CG}{GA}$=$\frac{5}{7}$，求sinE的值．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由AC为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而得到OC与AD平行，由AD与CE垂直，得到OC与CE垂直，即可得证；
（2）由OB=OE，根据半径OA的长求出OE的长，在直角三角形OCE中，根据OC=$\frac{1}{2}$OE得到∠E=30°，在直角三角形CEF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半即可求出CF的长；
（3）连接OC，由（1）得到OC与AD平行，进而得到三角形OCG与三角形ADG相似，三角形OCE与三角形ADE相似，由相似得比例求出$\frac{OC}{OE}$的值，即可确定出sinE的值．

解答 解：（1）连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠DAO，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO，
∵∠DAC=∠ACO，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CE，
∴OC⊥CE，
∴CE为⊙O的切线；
（2）∵AB=6，OB=OE，
∴OE=6，
在Rt△OCE中，
∵OC=3，OE=6，
∴∠E=30°，
∴CE=3$\sqrt{3}$，
∴在Rt△CFE中，CF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
（3）连接OC，由（1）得OC∥AD，
∴△COG∽△ADG，△COE∽△DAE，
∴$\frac{OC}{AD}$=$\frac{CG}{AG}$，$\frac{OC}{AD}$=$\frac{OE}{AE}$，
∴$\frac{OE}{AE}$=$\frac{5}{7}$，
∴$\frac{OE}{AO}$=$\frac{5}{2}$，
又∵AO=CO，
∴$\frac{CO}{OE}$=$\frac{2}{5}$，
在Rt△OCE中，sinE=$\frac{OC}{OE}$=$\frac{2}{5}$．

点评 此题属于圆的综合题，涉及的知识有：圆切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，含30度直角三角形的性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．