Question

7．如图所示，AB、CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，E是OC的中点，过点E作FG∥AB交⊙O于F、G两点．求证：∠CBF=2∠ABF．

Answer 1

分析 根据已知条件FG∥AB，AB⊥CD，得到FG⊥OC，由于E为OC中点，推出FG垂直平分OC，于是得到OF=CF，推出△OCF是正三角形，根据等边三角形的性质得到∠COF=60°，∠CBF=$\frac{1}{2}$∠COF=30°，∠AOF=90°-∠COF=30°，求得∠ABF=$\frac{1}{2}$∠AOF=15°，于是得到结论．

解答 证明：∵FG∥AB，AB⊥CD，
∴FG⊥OC，
∵E为OC中点，
∴FG垂直平分OC，
∴OF=CF，
∵OF=OC，
∴OF=CF=OC，
∴△OCF是正三角形，
∴∠COF=60°，∠CBF=$\frac{1}{2}$∠COF=30°，∠AOF=90°-∠COF=30°，
∴∠ABF=$\frac{1}{2}$∠AOF=15°，
∴∠CBF=2∠ABF．

点评 本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．