在数学探究课上.老师出示了这样的探究问题.请你一起来探究:已知:C是线段AB所在平面内任意一点.分别以AC.BC为边.在AB同侧作等边三角形ACE和BCD.联结AD.BE交于点P．(1)如图1.当点C在线段AB上移动时.线段AD 与BE的数量关系是: ．(2)如图2.当点C在直线AB外.且∠ACB＜120°.上面的结论是否还成立?若成立请证明.不成立说明理由．此� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：
已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，联结AD、BE交于点P．
（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD 与BE的数量关系是：

．
（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，联结AD、BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA=BE．

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）直接写出答案即可．
（2）证明△ECB≌△ACD，得到∠CEB=∠CAD，此为解题的关键性结论；借助内角和定理即可解决问题．
（3）如图，作辅助线，证明△CPA≌△CHE，即可解决问题．

解答：

解：（1）∵△ACE、△CBD均为等边三角形，
∴AC=EC，CD=CB，∠ACE=∠BCD，
∴∠ACD=∠ECB；
在△ACD与△ECB中，

AC=EC

∠ACD=∠ECB

CD=CB

，
∴△ACD≌△ECB（SAS），
∴AD=BE，
故答案为AD=BE．
（2）AD=BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°．
证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形
∴EC=AC，BC=DC，
∠ACE=∠BCD=60°，
∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD；
在△ECB和△ACD中，

EC=AC

∠ECB=∠ACD

BC=DC

∴△ECB≌△ACD（SAS），
∴∠CEB=∠CAD；
设BE与AC交于Q，
又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°
∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°．
（3）由（2）同理可得∠CPE=∠EAC=60°；在PE上截取PH=PC，连接HC，
则△PCH为等边三角形，
∴HC=PC，∠CHP=60°，
∴∠CHE=120°；
又∵∠APE=∠CPE=60°，
∴∠CPA=120°，
∴∠CPA=∠CHE；
在△CPA和△CHE中，

∠CPA=∠CHE

∠CAP=∠CEH

PC=HC

，
∴△CPA≌△CHE（AAS），
∴AP=EH，
∴PB+PC+PA=PB+PH+EH=BE．

点评：该题以等边三角形为载体，主要考查了全等三角形的判定及其性质、等边三角形的性质等几何知识点的应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．